Pengertian dan Penjelasan Regresi Linear Berganda

By | July 30, 2024
0 Comment
Print Friendly, PDF & Email
6,384 Views

Setelah kalian belajar mengenai regresi linear sederhana disini,  tentu akan timbul problem yang lainnnya yaitu tidak semua permasalahan 2 variabel saja pada kondisi real dilapangan, misalkan saja beberapa variabel akan mempengaruhi variabel output, nah untuk topik ini dipecahkan menggunakan Regresi Linear Berganda. Secara umum Regresi Linear Berganda /  Multi Regression bekerja dengan persamaan umum sebagai berikut

    \[y=a+b_1x_1+b_2x_2... +b_nx_n\]

atau dalam persamaan umum yang lainya menjadi

    \[Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+...+\beta_nX_n\]

Karena cukup rumit, contoh kasusnya yaitu 2 variabel saja yaitu X_1 dan X_2, maka untuk perhitungan regresi berganda yaitu

Metode 1

jika X dan Y adalah data-data vektor/array, maka

x = X -X\prime

y = Y -Y\prime

dengan X\prime dan Y\prime adalah rerata

(1)   \begin{equation*} \begin{split} \beta_0 & = \overline{y}-\beta_1\overline{x}_1-\beta_2\overline{x}_2 \\ \beta_1 & =\frac{\sum{(x_1y})\sum{(x_2)^2}-\sum{(x_2y)}\sum{(x_1x_2})}{\sum{(x_1)^2}\sum{(x_2)^2}-(\sum{x_1x_2})^2} \\ \beta_2 & =\frac{\sum{(x_2y)}\sum{(x_1)^2}-\sum{(x_1y)\sum{(x_1x_2)}}}{\sum{(x_1)^2}\sum{(x_2)^2}-(\sum{x_1x_2})^2}\\ \end{split} \end{equation*}

Metode 2

atau dalam persamaan yang lainnya untuk mencari \beta_0, \beta_1, dan \beta_2 yaitu

(2)   \begin{equation*} \begin{split} \sum{Y} & = \beta_0n+\beta_1\sum{X_1}+\beta_2\sum{X_2}\\ \sum{X_1Y} & =\beta_0\sum{X_1}+\beta_1\sum{X_1^2}+\beta_2\sum{X_1X_2}\\ \sum{X_2Y} & =\beta_0\sum{X_2}+\beta_1\sum{X_1X_2}+\beta_2\sum{X_2^2}\\ \end{split} \end{equation*}

kalian bisa ubah kedalam persamaan array

    \[A = \beta H\]

yaitu

    \[A=\begin{pmatrix} n & \sum{X_1} & \sum{X_2} \\ \sum{X_1} & \sum{X_1^2} & \sum{X_1X_2} \\ \sum{X_2} & \sum{X_1X_2} & \sum{X_2^2} \\ \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{pmatrix}, H = \begin{pmatrix} \sum{Y} \\ \sum{X_1Y}\\ \sum{X_2Y} \end{pmatrix}\]

gampang sekali untuk mencari \beta dengan cara, jika A\beta = H, maka

    \[\beta = A^{-1} H\]

Dataset

Mari coba dengan dataset berikut ini yang merupakan contoh harga saham tahunan untuk mengetahui pengaruhn PER (price earning ratio) dan ROI (return on investment).

>> data

data =

  11×4 table

    tahun    harga    per    roi
    _____    _____    ___    ___

    2003     8300      5      6 
    2004     7500      3      5 
    2005     8950      4      4 
    2006     8250      5      6 
    2007     9000      4      3 
    2008     8750      3      5 
    2009     9500      5      6 
    2010     8500      6      4 
    2011     8350      4      6 
    2012     9500      6      5 
    2013     9750      7      6 

>>

Sebagai variabel Y yaitu harga, sedangkan x1 yaitu per; serta x2 yaitu roi, maka dari dataset diatas didapatkan hasil berikut

A =
    11    52    56
    52   262   268
    56   268   296
H =
       96350
      460450
      490450

Dan \beta nya sebagai berikut

beta_0 =
   7.7351e+03
beta_1 =
  328.6184
beta_2 =
 -104.0022

Sangat mudah sekali bukan? Penulis kasih kodenya yang lebih lengkap sesuai dengan persamaan/cara no 2 yang digunakan dibawah ini

Kode Lengkap Matlab

Kalian bisa coba dengan kode berikut untuk Regresi Linear Berganda

clc;clear all;close all; format compact; format short;
data = readtable('data.csv')
 
y = data.harga; %target
x1 = data.per;
x2 = data.roi;
 
%ubah menjadi persamaan array/matrix
n = length(y);
 
A = [n, sum(x1), sum(x2);
    sum(x1), sum(x1.^2), sum(x1.*x2);
    sum(x2), sum(x1.*x2), sum(x2.^2)]
 
H = [sum(y); sum(x1.*y); sum(x2.*y)]
 
%hitung nilai beta
beta = inv(A)*H;
%hasil beta
beta_0 = beta(1)
beta_1 = beta(2)
beta_2 = beta(3)

Maka dari hasil diatas, persamaan nya menjadi

    \[y = \beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2\]

menjadi

    \[y = 77351+328.6184*x_1-104.0022*x_2\]

Prediksi

Tentu kalian akan membandingkan kinerja regresi berganda untuk melakukan prediksi dan targetnya, cara mudahnya menggunakan plot saja

y2 = beta_0+beta_1*x1+beta_2*x2;
 
figure
hold on
plot(y);
plot(y2);
xlabel('data ke n'),ylabel('harga')
grid on
legend('Target','Prediksi')
title('Regresi Berganda')

Menghitung Regresi Berganda dengan Jumlah Variabel lebih dari 2

Sedangkan untuk jumlah variabel lebih 2, maka rumusnya sebagai berikut, misalkan untuk 4 variabel

(3)   \begin{equation*} \begin{split} \sum{x_1Y} & =\beta_1\sum{x_1^2}+\beta_2\sum{x_1x_2}+\beta_3\sum{x_1x_3} \\ \sum{x_2Y} & =\beta_1\sum{x_1x_2}+\beta_2\sum{x_2^2}+\beta_3\sum{x_2x_3} \\ \sum{x_3Y} & =\beta_1\sum{x_1x_3}+\beta_2\sum{x_2x_3}+\beta_3\sum{x_3^2} \\ \sum{x_4Y} & =\beta_1\sum{x_1x_4}+\beta_2\sum{x_2x_4}+\beta_3\sum{x_3x_4}+\beta_4 \sum{x_4^2} \\ \beta_0 & =Y\prime-\beta_1X_1\prime-\beta_2X_2\prime-\beta_3X_3\prime \\ \end{split} \end{equation*}

dengan Y\prime dan X\prime adalah rerata, sebelum kalian memasukan kedalam persamaan diatas, maka perlu kalian hitung dulu

(4)   \begin{equation*} \begin{split} \sum{x_n^2 } & = \sum{X_n^2}-\frac{{(\sum{X_n}})^2}{n} \\ \sum{x_n^2y} & = \sum{X_nY}-\frac{\sum{X_n}\sum{Y}}{n} \\ \end{split} \end{equation*}

Makin banyak sekali dan membuat kalian bisa pusing, nah mendingan kita gunakan saja function fitlm bawaan Matlab untuk Multi Regression nya

Multi Regression dengan Matlab

Untuk di Matlab kalian  bisa menggunakan fitlm() yang dapat digunakan untuk Multi Regression. Cobalah kode dibawah ini yang sangat simple sekali digunakan.

clc;clear all;close all; format compact; format short;
data = readtable('data.csv')

y = data.harga; %target
X = [data.per,data.roi]; %prediktor

model = fitlm(X,y)

hasilnya

data =
  11×4 table
    tahun    harga    per    roi
    _____    _____    ___    ___
    2003     8300      5      6 
    2004     7500      3      5 
    2005     8950      4      4 
    2006     8250      5      6 
    2007     9000      4      3 
    2008     8750      3      5 
    2009     9500      5      6 
    2010     8500      6      4 
    2011     8350      4      6 
    2012     9500      6      5 
    2013     9750      7      6 
model = 
Linear regression model:
    y ~ 1 + x1 + x2

Estimated Coefficients:
                   Estimate      SE       tStat        pValue  
                   ________    ______    ________    __________
    (Intercept)     7735.1     1052.6      7.3488    8.0029e-05
    x1              328.62     152.35       2.157      0.063081
    x2                -104     185.55    -0.56051       0.59048

Number of observations: 11, Error degrees of freedom: 8
Root Mean Squared Error: 594
R-squared: 0.368,  Adjusted R-Squared 0.21
F-statistic vs. constant model: 2.33, p-value = 0.16

Prediksi

Tentu kalian akan membandingkan kinerja regresi berganda untuk melakukan prediksi dan targetnya, cara mudahnya menggunakan plot saja dan function predict

y2 = predict(model,X);
figure
hold on
plot(y);
plot(y2);
xlabel('data ke n'),ylabel('harga')
grid on
legend('Target','Prediksi')
title('Regresi Berganda - FitLM')

Pada pembahasan ini kalian sudah belajar mengenai kasus-kasus yang bersifat linear menggunakan Regresi Berganda.