Skip to main content

Metode Newton-Raphson

111 Views

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Oiya kalian sudah paham ya kalkulus! untuk mempermudah perhitungan, saya pakai GNU Octave yang ditulis manual serta perbandingan menggunakan function fsolve. Kegunaan dari metode newton-rapshon yaitu ketika kita mencari persamaan dari reaksi kesetimbangan pada proses kimia!

Prosedur Newton-Raphson

menentukan x_0  sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus, misal garis l yang menyinggung titik f(x_0) Hal ini berakibat garis l memotong sumbu x  di titik x_1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_i  dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2,x_3,..x_n denganx_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Garis l mempunyai persamaan

    \[y-y_0 = m(x-x_0)\]

    \[y-f'(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\]

x_1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu x

    \[0 - f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\]

y=0 da x=x_1 maka koordinat titik (x_1,0)

    \[-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=(x_1-x_0)\]

    \[x_1 = x_0 -  \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\]

    \[x_2 = x_1 -  \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\]

dan seterusnya, sehingga menjadi persamaan umum

    \[x_n = x_{n-1} -  \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}\]

Atau dalam persamaan lain disebutkan sebagai berikut

    \[ x_{new} & = x_{old} - \frac{f(x_{old})}{f'{x_{old}}} \]

    \[ & = x_{old} -[f'{x_{old}}]^{-1} \cdot f(x_{old}) \]

Contoh Newton-Rapshon

Tentukan akar persamaan dari

    \[2x^3 + 8x^2+10x+8=10\]

Jawab

dari persaaman diatas

    \[f(x) = 2x^3 + 8x^2+10x+8=10\]

    \[\frac{df}{dx} = 6x^2 + 16 x + 10\]

Yuk pakai GNU Octave untuk mempermudah perhitungan diatas! jangan lupa kalian bisa beli buku kami disini mengenai pemrograman octave. Oiya kita butuh package dataframe serta anonymous function biar singkat kodenya. Kita coba yuk newton raphson di GNU Octave. Jadi inget pas dulu ambil mata kuliah matematika industri  – matematika numerik, paling males kalau suruh perhitungan iterasi, paling pool pakai excel, nah sekarang kalau pakai GNU Octave masih mendingan, kode nya dikit, nggak pusing pakai array (mabok kalau kalau disuruh pakai C++)

Silahkan untuk login ataupun register terlebih dahulu untuk mendapatkan content seluruhnya

Existing Users Log In
   

2 thoughts to “Metode Newton-Raphson”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *