×

Uji Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi Data Berpasangan dan Saling Berhubungan

Statistik

Uji Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi Data Berpasangan dan Saling Berhubungan

Print Friendly, PDF & Email
5,737 Views

Uji Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi – Dalam uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t, pengamatan-pengamatan dari dua populasi dinyatakan dalam berpasangan. Sebagai contoh misalkan (X_1, Y_1), (X_2, X_2), … , (X_k, Y_k) merupakan pengamatan-pengamatan dari dua populasi, yakni populasi X dan Y yang dinyatakan dalam berpasangan.

Berikut beberapa contoh kasus yang dapat diselesaikan dengan pendekatan uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t.

  • Menguji ada tidaknya pengaruh yang signifikan secara statistika penggunaan suplemen X terhadap berat badan, sebelum dan sesudah mengkonsumsi suplemen X selama satu minggu.
  • Menguji ada tidaknya pengaruh yang signifikan secara statistika penggunaan suplemen Y terhadap tinggi badan, sebelum dan sesudah mengkonsumsi suplemen Y selama satu bulan.
  • Menguji ada tidaknya pengaruh yang signifikan secara statistika pada program kursus matematika terhadap nilai ujian matematika siswa, sebelum dan sesudah mengikuti kursus matematika.

Cara menghitung

Cara menghitung Uji Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi Data Berpasangan dan Saling Berhubungan. Misalkan D_i menyatakan selisih dari pasangan pengamatan ke-i dari dua populasi, yakni X dan Y, maka D_1 = Y_1 − X_1,D_2 = Y_2 − X_2, … , D_k = Y_k − X_k. Dalam uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t, data dari selisih pasangan pengamatan (D) diasumsikan berdistribusi normal, dengan rata-rata \mu_D.

Berikut hipotesis dalam uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t

  • hipotesis nol menyatakan tidak terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika, sesudah dan sebelum perlakuan. Dengan kata lain, selisih rata-rata antara kelompok sesudah dan sebelum perlakuan sama dengan nol (\mu 2 - \mu 1 = 0).
  • Hipotesis alternatif menyatakan terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika, sesudah dan sebelum perlakuan. Dengan kata lain, selisih rata-rata antara kelompok sesudah dan sebelum perlakuan berbeda dari nol (\mu 2 - \mu 1 \neq 0).

Nilai statistik dari uji t (t_{hitung}) dihitung dengan rumus sebagai berikut.

See also  Machine Learning dengan Torch

    \[ t=\frac{\bar{d}-\mu_D}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \]

Dengan keterangan

  • \bar{d} merupakan rata-rata dari selisih pasangan pengamatan dari dua sampel
  • \mu_D merupakan rata-rata dari selisih pasangan pengamatan dari dua populasi
  • serta s_d merupakan nilai standar deviasi dari selisih pasangan pengamatan dari dua sampel dengan rumus

    \[s_d=\sqrt{\frac{\sum(d-\bar{d})^2}{n-1}}\]

Untuk pengambilan keputusan terhadap hipotesis, dapat dilakukan dengan membandingkan nilai statistik dari uji t terhadap nilai kritis berdasarkan tabel distribusi t(t_{kritis}). Sebelum menghitung nilai kritis t, terlebih dahulu menghitung nilai derajat bebas. Berikut rumus untuk menghitung nilai derajat bebas.

    \[ derajat \space bebas = n-1 \]

Perhatikan bahwa n menyatakan banyaknya pasangan pengamatan. Andaikan banyaknya pasangan pengamatan sebanyak 9, tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%, sehingga nilai kritis t dengan derajat bebas 9 − 1 = 8 dan tingkat signifikansi 5% adalah ±2,306. Diketahui nilai kritis t = ±2,306. Berikut aturan pengambilan keputusan terhadap hipotesis berdasarkan uji t (pengujian dua arah).

jika |t_{hitung}| \leq |t_{kritis}|, maka H_0 diterima dan H_1 ditolak

jika |t_{hitung}| < |t_{kritis}|, maka H_0 ditolak dan H_1 diterima

 

Pengambilan keputusan terhadap hipotesis juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai probabilitas dari uji t. Nilai probabilitas dari uji t dibandingkan dengan tingkat signifikansi yang digunakan. Berikut aturan pengambilan keputusan terhadap hipotesis berdasarkan pendekatan nilai probabilitas.

jika nilai \space probabilitas \geq tingkat \space signifikansi, maka H_o diterima dan H_1 ditolak

jika nilai \space probabilitas < tingkat \space signifikansi, maka H_o ditolak dan H_1 diterima

 

Uji Asumsi Normalitas

Dalam uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t , data dari selisih pasangan pengamatan (D) diasumsikan berdistribusi normal, dengan rata-rata \mu D.

Namun ketika ukuran sampel cukup besar, yakni \geq 30, maka populasi tidak harus berdistribusi normal. Hal ini karena berdasarkan sifat teorema limit sentral (central limit theorem).

Contoh Kasus

Contoh Kasus  Uji Kesamaan Rata-Rata dari Dua Populasi untuk Data Berpasangan dan Saling Berhubungan dengan Uji t. Misalkan seorang peneliti ingin meneliti mengenai pengaruh penggunaan obat 𝐴 terhadap jumlah denyut jantung per-menit pada manusia. Peneliti tersebut mengambil sampel sebanyak 9 responden.

  1. sebelum pemberian obat 𝐴, peneliti mencatat jumlah denyut jantung yang terjadi dalam satu menit dari 9 responden tersebut. Kemudian, 9 responden tersebut mengkonsumsi obat 𝐴.
  2. setelah 15 menit, peneliti tersebut mencatat kembali jumlah denyut jantung yang terjadi dalam satu menit. Berikut data dari 9 responden mengenai jumlah denyut jantung yang terjadi dalam satu menit sebelum dan sesudah mengkonsumsi obat 𝐴
See also  Belajar Statistik

Berikut data denyut nadi X (sebelum) dan Y (sesudah)

Peneliti akan menguji apakah terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika dalam hal jumlah denyut jantung yang terjadi dalam satu menit, sebelum dan
sesudah mengkonsumsi obat A pada tingkat signifikansi \alpha = 5%. Berikut akan dihitung standar deviasi dari data selisih pasangan pengamatan s_d.

 

    \[ s_d = \sqrt{\frac{\sum(d-\bar{d})^2}{n-1}} \]

    \[ s_d = \sqrt{\frac{323,555556}{9-1}} \]

Berdasarkan perhitungan diperoleh nilai standar deviasi dari data selisih pasangan pengamatan, yakni s_d = 6,360. Selanjutnya akan dihitung nilai statistik dari uji t.

    \[ t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \]

    \[ t=\frac{16,2222 − 0}{\frac{6,35959468}{\sqrt{9}}} \]

    \[ t=7,652468821 \]

Berdasarkan perhitungan, nilai statistik dari uji t adalah 7,652468821. Diketahui derajat bebas (df) bernilai 9 − 1 = 8. Nilai kritis t dengan derajat bebas 8 dan tingkat signifikansi 5% adalah ±2,306. Berikut aturan pengambilan keputusan terhadap hipotesis berdasarkan uji t.

jika |t_{hitung}| \leq |t_{kritis}|, maka H_0 diterima dan H_1 ditolak

jika |t_{hitung}| < |t_{kritis}|, maka H_0 ditolak dan H_1 diterima

 

Perhatikan bahwa karena |t_{hitung}|> |t_{kritis}|, yakni 7,652 > 2,306, maka disimpulkan bahwa hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Hal ini berarti terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika dalam hal jumlah denyut jantung, sebelum dan sesudah mengkonsumsi obat 𝐴 pada tingkat signifikansi 5%. Itu artinya ada pengaruh yang signifikan secara statistika, sesudah dan sebelum perlakuan.

Uji t Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi menggunakan R/RStudio

Untuk Uji t Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi menggunakan R/RStudio, kita simpan dulu data diatas dalam bentuk excel, berikut kode yang digunakan untuk menghitung uji t di R/RStudio.

library(readxl)
library(dplyr)

dat = readxl::read_xlsx("data.xlsx")
t.test(dat$Y,dat$X,paired = TRUE)

 

hasil uji t yaitu

   Paired t-test

data:  dat$Y and dat$X
t = 7.6525, df = 8, p-value = 6.003e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 11.33381 21.11064
sample estimates:
mean of the differences 
               16.22222

Berdasarkan hasil diatas

  • diketahui nilai statistik dari uji t(t) adalah 7,6525
  • sementara nilai probabilitas (p-value) adalah 0,00006003 (atau 6.003e-05).
  • nilai derajat bebas (df) adalah 8.
See also  Cara mengatasi RStudio - n must only be used inside dplyr verbs

Perhatikan bahwa karena |t_{hitung}| > |t_{kritis}| yakni 7,652 > 2,306,  maka disimpulkan bahwa hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Hal ini berarti terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika dalam hal jumlah denyut jantung, sebelum dan sesudah mengkonsumsi obat 𝐴 pada tingkat signifikansi 5%.

Pengambilan keputusan terhadap hipotesis juga dapat dilakukan dengan menggunakan nilai probabilitas dari uji t (p-value). Nilai probabilitas dari uji t dibandingkan dengan tingkat signifikansi yang digunakan. Berikut aturan pengambilan keputusan terhadap hipotesis berdasarkan pendekatan nilai probabilitas.

jika nilai \space probabilitas \geq tingkat \space signifikansi, maka H_o diterima dan H_1 ditolak

jika nilai \space probabilitas < tingkat \space signifikansi, maka H_o ditolak dan H_1 diterima

Berdasarkan hasil diatas

  • diketahui nilai probabilitas dari uji t (p-value) adalah 0,00006003

Karena nilai probabilitas tersebut lebih kecil dibandingkan tingkat signifikansi \alpha = 0,05, maka hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Hal ini berarti terdapat pengaruh yang signifikan secara statistika dalam hal jumlah denyut jantung, sebelum dan sesudah mengkonsumsi obat A pada tingkat signifikansi 5%.

Uji Normalitas

Pada bab sebelumnya kita pernah bahas – https://softscients.com/2021/10/24/cara-hitung-manual-uji-normalitas-dengan-uji-kolmogorov-smirnov/ – Dalam uji kesamaan rata-rata dari dua populasi untuk data berpasangan dan saling berhubungan dengan uji t, data dari selisih pasangan pengamatan D diasumsikan berdistribusi normal, dengan rata-rata \mu D.

selisih = dat$Y-dat$X
library(nortest)

lillie.test(selisih)

hasil uji normalitas

   Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  selisih
D = 0.1682, p-value = 0.6544

nilai probabilitas dari uji Kolmogorov-Smirnov (p-value) adalah 0,6544 sehingga nilai probabilitas lebih besar dibandingkan tingkat signifikansi, yakni 0,05, maka hipotesis nol diterima, dan hipotesis alternatif ditolak. Hal ini berarti asumsi normalitas data dari selisih pasangan pengamatan dipenuhi.

Demikian pembahasan mengenai Uji t Kesamaan Rata-Rata Dari Dua Populasi

ref: Belajar Statistika dengan R Prana Ugiana Gio, Dasapta Erwin Irawan, 2016

Tag

Related Posts

You May Have Missed