Cara Hitung Manual Uji Normalitas Populasi dengan Uji Jarque-Bera

4,588 Views

Cara Hitung Manual Uji Normalitas Populasi dengan Uji Jarque-Bera adalah salah satu cara untuk uji normalitas selain Cara Hitung Manual Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov. Berdasarkan data dibawah ini, berikut akan digunakan pendekatan uji Jarque-Bera (JB) untuk menguji hipotesis apakah data tersebut ditarik dari populasi yang berdistribusi normal atau tidak (misalkan tingkat signifikansi yang digunakan $\alpha=5%$

Perhitungan akan dilakukan secara manual. Nilai statistik dari uji JB dihitung dengan rumus sebagai berikut

$JB = n [\frac{S^2}{6}+\frac{(K-3)^2}{24}]$

Perhatikan bahwa

$n$ menyatakan banyaknya elemen dalam sampel,
$S$ menyatakan kemiringan atau skewness, dan
$K$ menyatakan kurtosis.

Untuk variabel yang terdistribusi secara normal, mak $S = 0$ dan $K = 3$ . Oleh karena itu, uji normalitas JB merupakan suatu uji dari hipotesis gabungan (joint hypothesis), yakni $S$ dan $K$ masing-masing bernilai 0 dan 3. Baca lebih lanjut mengenai kurtosis https://softscients.com/2020/04/01/buku-belajar-dasar-dasar-statistik-dengan-bahasa-r-statistik-dasar/

Untuk kemiringan dan kurtosis dihitung dengan rumus sebagai berikut

$kemiringan=\frac{\frac{1}{n}\sum(X-\bar X )^3}{(\frac{1}{n}\sum(X-\bar X)^2)^{3/2}}$

$kurtosis =\frac{\frac{1}{n}\sum(X-\bar X )^4}{(\frac{1}{n}\sum(X-\bar X)^2)^{2}}$

Berikut perhitungan manual Uji Normalitas Populasi dengan Uji Jarque-Bera

Hitung manual kemiringan

$kemiringan=\frac{\frac{1}{n}\sum(X-\bar X )^3}{(\frac{1}{n}\sum(X-\bar X)^2)^{3/2}}=\frac{0}{(\frac{1}{n}\sum(X-\bar X)^2)^{3/2}}=0$

Hitung manual kurtosis

$kurtosis =\frac{\frac{1}{n}\sum(X-\bar X )^4}{(\frac{1}{n}\sum(X-\bar X)^2)^{2}}= \frac{\frac{1}{16}(2320000)}{(\frac{1}{16} \cdot 4000)^2}= \frac{145000}{62500}=2,32$

Biar lebih mudah kita hitung menggunakan R/RStudio untuk skweness/kemiringan

library(readxl)
library(dplyr)



skew<-function(x){ 
    n<-length(x)
    hasil = (n/((n-1)*(n-2)))*(sum((x-mean(x))^3)/sd(x)^3) 
    return (hasil) 
    }


dat = readxl::read_xlsx("data kuliah.xlsx")

skew(dat$Nilai)

hasil

Untuk menghitung kurtosis

library(e1071)
a = moment(dat$Nilai,order=2,center=TRUE)
b = moment(dat$Nilai,order=4,center=TRUE)
kurtosis = b/a^2
kurtosis

hasil

[1] 2.32

Diketahui nilai kemiringan adalah 0 dan nilai kurtosis adalah 2,32. Sehingga nilai statistik dari uji JB dihitung sebagai berikut.

$JB = n \Big[\frac{S^2}{6}+\frac{(K-3)^2}{24}\Big]=16\Big[\frac{0^2}{6}+\frac{(2,32-3)^2}{24}\Big]= 0,308267$

Kita hitung Uji Normalitas Populasi dengan Uji Jarque-Bera menggunakan R/RStudio

library(tseries)
jarque.bera.test(dat$Nilai)

hasilnya

   Jarque Bera Test

data:  dat$Nilai
X-squared = 0.30827, df = 2, p-value = 0.8572

Pengambilan keputusan terhadap hipotesis, dapat dilakukan dengan membandingkan nilai statisik dari uji Jarque-Bera terhadap nilai kritis chi-kuadrat $\chi_{kritis}^2$ . Statistik dari uji JarqueBera berdistribusi sampling chi-kuadrat dengan derajat bebas 2 untuk ukuran sampel yang besar. Berikut aturan pengambilan keputusan terhadap hipotesis.

jika nilai statistik JB $\leq \chi_{kritis}^2$ , $H_0$ diterima dan $H_1$ ditolak

jika nilai statistik JB $> \chi_{kritis}^2$ , $H_0$ ditolak dan $H_1$ diterima

Diketahui nilai kritis chi-kuadrat bernilai 5,991. Karena nilai statisik dari uji Jarque-Bera, yakni 0,308, lebih kecil dibandingkan nilai kritis chi-kuadrat, yakni 5,991, maka hipotesis nol diterima dan hipotesis alternatif ditolak, sehingga asumsi mengenai data nilai ujian matematika kelas 6 SD ditarik dari populasi yang berdistribusi normal dapat diterima pada tingkat signifikansi 5%.

Perhatikan juga bahwa nilai probabilitas atau p-value adalah 0,8572, Karena nilai probabilitas, yakni 0,8572, lebih besar dibandingkan tingkat signifikansi, yakni 0,05, maka hipotesis nol diterima, dan hipotesis alternatif ditolak. Hal ini berarti asumsi mengenai data nilai ujian matematika ditarik dari populasi yang berdistribusi normal dapat diterima pada tingkat signifikansi 5%

Catatan Khusus untuk perhitungan kurtosis

Perhitungan kurtosis ternyata di software SPPS mengacu rumus yang ada di Statiska dengan R/RStudio yaitu

$kurtosis=(\frac{n(n+1)\sum{(X-\bar{X})^2}}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4})-\frac{3(n-1)^2}{(n-)(n-3)}$

Sehingga kode yang digunakan yaitu

kurto<-function(x){ 
    n = length(x) 
    a = n*(n+1)*sum((x-mean(x))^4) 
    b = (n-1)*(n-2)*(n-3)*sd(x)^4 
    c = 3*(n-1)^2 
    d = (n-2)*(n-3) 
    return ((a/b)-(c/d)) 
}


kurto(dat$Nilai)

hasil

[1] -0.4582418

Sama hasilnya di SPSS

Uji Normalitas yang lain

Demikian pembahasan mengenai Cara Hitung Manual Uji Normalitas Populasi dengan Uji Jarque-Bera

ref: Belajar Statistika dengan R Prana Ugiana Gio, Dasapta Erwin Irawan, 2016